如图在正方形中，点E在上，连接，， F为的中点连接．若，求的长．

1. 【问题背景】

如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是一张等腰直角三角形纸板， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中点进行第 $\text{[math]}$ 次剪取，记所得正方形面积为 $\text{[math]}$ ，如图 $\text{[math]}$ ，在余下的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 $\text{[math]}$ 次剪取，并记这两个正方形面积和为 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ .

【问题探究】

（1） $\text{[math]}$ ______ ；

（2）如图 $\text{[math]}$ ，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 $\text{[math]}$ 次剪取，并记这四个正方形面积和为 $\text{[math]}$ 继续操作下去 $\text{[math]}$ ，则第 $\text{[math]}$ 次剪取时， $\text{[math]}$ ______ ；第 $\text{[math]}$ 次剪取时， $\text{[math]}$ ______ ．

【拓展延伸】

在第 $\text{[math]}$ 次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ．

实践探究题容易

2. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千 $\text{[math]}$ 静止的时候，踏板离地高一尺（ $\text{[math]}$ 尺），将它往前推进两步（ $\text{[math]}$ 尺），此时踏板升高离地五尺（ $\text{[math]}$ 尺），求秋千绳索（ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ）的长度．

综合题容易

3. 在△ABC中，∠C=30°，AC=4cm，AB=3cm，求BC的长.

解答题容易

1. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 O．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 点E 为射线 $\text{[math]}$ 上一点，过点O作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 F，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的数量关系．

解答题普通

2. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE= $\text{[math]}$ ， BE= $\text{[math]}$ ．求CD的长和四边形ABCD的面积．

解答题普通

3. 如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝30cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s．经过多长时间P、Q两点之间的距离是15cm？

解答题普通

1. 如图，已知 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 长为6， $\text{[math]}$ 两端分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上滑动，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的最大值为（　　）

A. $\text{[math]}$ B. 8 C. $\text{[math]}$ D. 9

单选题困难

2. 如图，边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在 $\text{[math]}$ 内，长方形的两个顶点分别落在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，设点C，D为长方形的格点，连接 $\text{[math]}$ ，恰好经过格点D，则 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题容易

3. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，点G在 $\text{[math]}$ 上，H是 $\text{[math]}$ 的中点．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. 4 D. 5

单选题普通

1. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上取点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

(1) 如图1，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 综合与实践

问题情境：

在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， O是对角线 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转一定角度 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ， G是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H．