已知：如图，在中，，，，，将沿方向匀速运动得到，已知平移速度为1 ，分别与，相交于、，与相交于，设运动时间为．解答下列问题：

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1. 已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动得到 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 平移速度为1 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

解答下列问题：

(1) 连接 $\text{[math]}$ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形 $\text{[math]}$ 是正方形？若存在，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由；

(2) 在运动过程中，是否存在某一时刻 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 平移的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， Q为 $\text{[math]}$ 的中点．动点P从点A出发沿线段 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边构造正方形 $\text{[math]}$ ，且边 $\text{[math]}$ 与点B始终在边 $\text{[math]}$ 同侧．设点P的运动时间为t秒 $\text{[math]}$ ．

(1) 线段 $\text{[math]}$ 的长为________；

(2) 线段 $\text{[math]}$ 的长为________（用含t的代数式表示）；

(3) 当正方形 $\text{[math]}$ 的顶点M落在 $\text{[math]}$ 的边上时，求t的值；

(4) 当正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 的中点落在线段 $\text{[math]}$ 上时，求t的值和正方形的面积．

解答题困难

2. 已知，点 $\text{[math]}$ 在正方形纸片 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 对折，使点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 并延长分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若点 $\text{[math]}$ 刚好落在对角线 $\text{[math]}$ 上，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，若将正方形改成矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ _______．（用含a的代数式表示）

解答题困难

3. 正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ．

(1) 求正方形 $\text{[math]}$ 的边长.

(2) 以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通