已知：正方形边长为2．点为边上的动点，以直线为对称轴翻折得（如图）．连接，取中点，连接．

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1. 已知：正方形 $\text{[math]}$ 边长为2．点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上的动点，以直线 $\text{[math]}$ 为对称轴翻折 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ （如图）．连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 当翻折 $\text{[math]}$ 后，若点 $\text{[math]}$ 刚好落在对角线 $\text{[math]}$ 上，求此时 $\text{[math]}$ 的长度．

(2) 当点P由A运动到D时，求点M的运动轨迹的长度．

(3) 如果将“点P为线段 $\text{[math]}$ 上的动点”改为“点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上的动点”，其它条件不变，那么当 $\text{[math]}$ 等腰三角形时，求此时 $\text{[math]}$ 的长度．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， Q为 $\text{[math]}$ 的中点．动点P从点A出发沿线段 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边构造正方形 $\text{[math]}$ ，且边 $\text{[math]}$ 与点B始终在边 $\text{[math]}$ 同侧．设点P的运动时间为t秒 $\text{[math]}$ ．

(1) 线段 $\text{[math]}$ 的长为________；

(2) 线段 $\text{[math]}$ 的长为________（用含t的代数式表示）；

(3) 当正方形 $\text{[math]}$ 的顶点M落在 $\text{[math]}$ 的边上时，求t的值；

(4) 当正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 的中点落在线段 $\text{[math]}$ 上时，求t的值和正方形的面积．

解答题困难

2. 已知，点 $\text{[math]}$ 在正方形纸片 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 对折，使点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 并延长分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若点 $\text{[math]}$ 刚好落在对角线 $\text{[math]}$ 上，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，若将正方形改成矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ _______．（用含a的代数式表示）

解答题困难

3. 正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ．

(1) 求正方形 $\text{[math]}$ 的边长.

(2) 以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通