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1. 综合与实践

问题提出

如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D在AB上，AD＝1，点P沿折线D－B－C运动（运动到点C停止），以DP为边作正方形DPEF ． 设点P运动的线路长为x ， 正方形DPEF 面积为y ．

初步感悟

(1) 当点P在DB上运动时，若BP＝AD ， 则

①y＝，y关于x的函数关系式为；

②连接CE ， 则CE长为．
(2) 当点P在BC上运动时，求y关于x的函数解析式．
(3) 延伸探究

如图2，将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，解决如下问题：

①当点P的运动到使DP∥AC时，图象上对应点的坐标为 ▲ ；

②当AC将正方形DPEF分成面积相等的两部分时，AC与正方形交于点G、H两点，请直接写出此时AG的长，以及自变量和函数的值．
【考点】
函数解析式; 勾股定理; 正方形的性质; 锐角三角函数的定义; 三角形-动点问题;
【答案】

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实践探究题 困难
能力提升
换一批
1. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

(1) 【特例探究】

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；
(2) 【归纳证明】

请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
(3) 【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 ，AB=3，求AF的长．
实践探究题 困难
2. 如图，为线段AB上一点， ， 射线于点C，P为射线CD上一点，连结PA，PB.

(1) 【发现、提出问题】

①当PC=3时，求的值.

②小亮发现PC取不同值时，的值存在一定规律，请猜想该规律：    ▲     .
(2) 【分析、解决问题】请证明你的猜想.
(3) 【运用】当时，求的周长.
实践探究题 普通
3.  
(1) 【回顾】

如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于．
(2) 【探究】

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°= ，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75°= ，请你写出小明或小丽推出sin75°= 的具体说理过程．
(3) 【应用】

在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）

①点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；

②点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．
实践探究题 困难