如图，在中，，，，点M为边的中点．点Q从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度先沿运动到点B，再沿向终点A运动，以为邻边构造，设点Q运动的时间为t秒．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M为边 $\text{[math]}$ 的中点．点Q从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度先沿 $\text{[math]}$ 运动到点B，再沿 $\text{[math]}$ 向终点A运动，以 $\text{[math]}$ 为邻边构造 $\text{[math]}$ ，设点Q运动的时间为t秒．

(1) 当点E落在 $\text{[math]}$ 边上时，求t的值；

(2) 当点P在边 $\text{[math]}$ 上运动时，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求S与t之间的函数关系式；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 分成的两部分图形面积相等时t的值．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 四边形-动点问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D，E分别是边 $\text{[math]}$ 的中点，点P从点D出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度运动，过点P作 $\text{[math]}$ 于Q，过点Q作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于R，交 $\text{[math]}$ 于G，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 点D到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 的长是___________；

(2) 令 $\text{[math]}$ ，求y关于t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

(3) 是否存在点P，使 $\text{[math]}$ 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点D为 $\text{[math]}$ 的中点，点E为折线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ （点F为点D绕点E顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到），直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点分别为M，N．

(1) 当点E在线段 $\text{[math]}$ 上时，

①若 $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 的长；

②若直线 $\text{[math]}$ 过点C，求此时正方形 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 是否存在点E，使得 $\text{[math]}$ 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长，若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以每秒1个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，点 $\text{[math]}$ 同时从点 $\text{[math]}$ 出发以每秒2个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 当以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 若四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，试写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并求出 $\text{[math]}$ 取何值时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积最小？

(4) 如图2，将本题改为点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以每秒3个单位长度的速度在 $\text{[math]}$ 上向点 $\text{[math]}$ 运动，点 $\text{[math]}$ 同时从点 $\text{[math]}$ 出发向点 $\text{[math]}$ 运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 为等腰三角形．

解答题困难