如图1，平面上，四边形中，，，，，，点M在边上，且．点P沿折线以1个单位速度向终点C运动，点是点A关于直线的对称点，连接，设点P在该折线上运动的时间为．

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1. 如图1，平面上，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ．点P沿折线 $\text{[math]}$ 以1个单位速度向终点C运动，点 $\text{[math]}$ 是点A关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点，连接 $\text{[math]}$ ，设点P在该折线上运动的时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ．

①求 $\text{[math]}$ 的度数，并直接写出当 $\text{[math]}$ 、M、A共线时t的值；

②若点P到 $\text{[math]}$ 的距离为1，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离（用含t的式子表示）．

【考点】

翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点横坐标为 $\text{[math]}$ ，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点A和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点（不与点A， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合）．设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求这条抛物线的函数解析式；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 在第三象限，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 轴上时，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是y轴，且经过 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 这两个点．直线 $\text{[math]}$ 与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点．

(1) 求该抛物线的函数表达式；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 在y轴上是否存在点P，使得当k取某值时， $\text{[math]}$ 是等边三角形．若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于点 $\text{[math]}$ ．且 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图2，点 $\text{[math]}$ 在第一象限对称轴右侧的抛物线上， $\text{[math]}$ 轴交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式（不要求写自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围）；

(3) 如图3，在（2）的条件下，作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴，与线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，恰好使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难