已知的直径，点为弧上一点，连接、，点为劣弧上一点（点不与点、重合），连接交、于点、．

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1. 已知 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为弧 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为劣弧 $\text{[math]}$ 上一点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图，当 $\text{[math]}$ 时，求： $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 为劣弧 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，求： $\text{[math]}$ 的正弦值；

(3) 当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

等腰三角形的性质; 圆周角定理; 相似三角形的判定与性质; 求正弦值;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．

解答题普通

2. 如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=50°，求∠EBC的度数．

解答题普通

3. $\text{[math]}$ 是圆上的两个点，点 $\text{[math]}$ 在⊙C的内部．若 $\text{[math]}$ 为直角，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 关于⊙C的内直角，特别地，当圆心 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边（含顶点）上时，称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 关于⊙C的最佳内直角．如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 关于⊙C的内直角， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中．

（1）如图 $\text{[math]}$ ， ⊙O的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是⊙O上两点．

①已知 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中，是 $\text{[math]}$ 关于⊙O的内直角的是______；

②若在直线 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 关于⊙O的内直角，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

（2）点 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆上一个动点，⊙T与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的右边）．现有点 $\text{[math]}$ ，对于线段 $\text{[math]}$ 上每一点 $\text{[math]}$ ，都存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 关于⊙T的最佳内直角，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最大值，以及 $\text{[math]}$ 取得最大值时 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难