如图，在正方形中，，分别为，的中点，与交于点 P．

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1. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 P．

(1) 试猜想 $\text{[math]}$ 的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的猜想；

(3) 在第（2）问的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 正方形的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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证明题普通

1. 四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，点G在边DC上，连接BG，DE．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

证明题普通

2. 如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是CD上一点，且∠AEF=90°，求证：CF= $\text{[math]}$ AB．

证明题普通

3. 实践探究

如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，若得到一个正方形，剪口与折痕应成______度的角．

知识应用

(1)小明按照以上方法剪出两个边长为 $\text{[math]}$ 的全等正方形，如图②所示摆放，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为______．

(2)小明发现，正方形 $\text{[math]}$ 在绕点 $\text{[math]}$ 转动的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 $\text{[math]}$ 面积之间存在一定的数量关系，如图③写出该数量关系，并予以证明．

拓展延伸

小明剪了两个大小不同的等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 和等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．如图④放置，其中点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 时．请直接写出两个等腰直角三角形重叠部分的面积．

证明题普通