如图，绕点A逆时针旋转，得到，点落在的延长线上，延长交的延长线于点D，交于E，连接，已知，

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1. 如图， $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的延长线上，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点D，交 $\text{[math]}$ 于E，连接 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，

(1) 试说明 $\text{[math]}$ 为等边三角形．

(2) 求 $\text{[math]}$ 的长度

(3) 求四边形 $\text{[math]}$ 的面积

【考点】

三角形的面积; 等边三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理; 旋转的性质;

【答案】

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解答题普通

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，以 $\text{[math]}$ 为一边，在 $\text{[math]}$ 外作等边三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．

(1) ①求点B的坐标；

(2) 如图2．将图1中的四边形 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图1，连接 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上有一动点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值为______；

(4) 若去掉题干中 $\text{[math]}$ 这个条件，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 外一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则当线段 $\text{[math]}$ 的长度最小时， $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ 的最小值是______．

解答题困难

(1) 如图1， $\text{[math]}$ 是锐角 $\text{[math]}$ 内一动点，把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转60°得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，这样就可得出 $\text{[math]}$ ，请给出证明过程．

(2) 图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），其中顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为公园的出入口， $\text{[math]}$ ，工人师傅准备在公园内修建一凉亭 $\text{[math]}$ ，使该凉亭到三个出入口的距离 $\text{[math]}$ 最小，求这个最小的距离．

解答题困难

3. 已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形，点P是平面内一动点．

(1) 如图1，若点P是等边三角形 $\text{[math]}$ 内的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外的一点，且 $\text{[math]}$ ，求点P与点 $\text{[math]}$ 之间的距离及 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 如图2，若点P在等边三角形 $\text{[math]}$ 外部，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题普通