如图，在中，，，点E，F为边上的动点，点D是的中点，以点D为圆心，长为半径在内作半圆D．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E，F为边 $\text{[math]}$ 上的动点，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，以点D为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径在 $\text{[math]}$ 内作半圆D．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， P为弧 $\text{[math]}$ 的中点，则在半圆D移动的过程中，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

(2) 当半圆D同时与 $\text{[math]}$ 的两直角边相切时，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 正方形的判定与性质; 切线的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，

①求 $\text{[math]}$ 的值；

②求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长．拿到题目后，小彬、姚昕联．同学和数学老师展开了讨论，他们的对话如下：

小彬：这道题目肯定要用到旋转，得到全等，再设参、推导、计算化简等；

昕聪：这道题目的条件有些多余，比如 $\text{[math]}$ 就可以不要

老师：你们两位同学说的都正确．

请你按照昕聪的说法进行分析、解答，试求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 如图（1），在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点D开始沿 $\text{[math]}$ 边匀速运动，动点Q从点A开始沿 $\text{[math]}$ 边匀速运动，它们的运动速度均为 $\text{[math]}$ ．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s）， $\text{[math]}$ ．

(1) 用含t的代数式表示 $\text{[math]}$ ；

(2) 当以点A、P、Q为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似时，求t的值；

(3) 如图（2），延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，两延长线相交于点M，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，直接写出t的值．

解答题困难

3. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一个动点，过点E作 $\text{[math]}$ 交线段CD于点F．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难