对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：如果点满足，那么点就是线段的“关联点”．其中，当时，称为线段的“远关联点”；当时，称为线段的“近关联点”．

1. 对于平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的线段 $\text{[math]}$ 及点 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：

如果点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，那么点 $\text{[math]}$ 就是线段 $\text{[math]}$ 的“关联点”．其中，当 $\text{[math]}$ 时，称 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“远关联点”；当 $\text{[math]}$ 时，称 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“近关联点”．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 坐标分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 时，在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，线段 $\text{[math]}$ 的“近关联点”有_______．

(2) 如图2，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上， $\text{[math]}$ ．

①如果点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且为线段 $\text{[math]}$ 的“关联点”，那么点 $\text{[math]}$ 的坐标为_______；

②如果点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“远关联点”，那么点 $\text{[math]}$ 的纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围是_______．

【考点】

坐标与图形性质; 等边三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理;

【答案】

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解答题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ 在直角坐标系中，边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一动点．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

解答题普通

2. 如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，

(1) 求点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 如图，在 $\text{[math]}$ 的外角平分线上有一点 $\text{[math]}$ ：

①连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最小时， $\text{[math]}$ 的长度为　　　　；

②在 $\text{[math]}$ 轴上有一动点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 不变，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的横坐标．

解答题普通

3. （1）如图 1，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，∆ABC 的三个顶点均在格点上．现将∆ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°，点 B 的对应点为B^' ，点 C 的对应点为C^' ，连接 BB^' ，如图所示则∠AB^'B＝．

（2）如图 2，在等边∆ABC 内有一点 P，且 PA＝2，PB＝ $\text{[math]}$ ，PC＝1，如果将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得出△ABP^' ，求∠BPC 的度数和 PP^'的长；

（3）如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点O为 $\text{[math]}$ 内一点，连接AO，BO，CO，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难