抛物线交x轴于A ， B两点（A在B的右边），交y轴于点C ．

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1. 抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于A ， B两点（A在B的右边），交y轴于点C ．

(1) 直接写出点A ， B ， C的坐标；

(2) 如图（1），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过第三象限的抛物线上的点P作直线 $\text{[math]}$ ，交y轴于点Q ．若 $\text{[math]}$ 平分线段 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；

(3) 如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于E ， F两点（点E在x轴下方），线段 $\text{[math]}$ 交抛物线于另一点G ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的解析式．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数与一元二次方程的综合应用; 二次函数-角度的存在性问题;

【答案】

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综合题困难

1. 抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是第四象限内抛物线上的一点.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交直线BC于点 $\text{[math]}$ .设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图2点 $\text{[math]}$ ，连接CF并延长交直线PD于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上方抛物线上的一点，在(2)的条件下， $\text{[math]}$ 轴上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形.若存在，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

综合题困难

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

(2) 抛物线与 $\text{[math]}$ 轴只有一个公共点，经过点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

①判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

②已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的外心为点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，求点 $\text{[math]}$ 的纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围．

综合题困难

3. 在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线 $\text{[math]}$ 上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点 $\text{[math]}$ 也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点.

(1) 已知点M在抛物线 $\text{[math]}$ 上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线 $\text{[math]}$ 是否为回归抛物线，并说明理由；

(2) 已知点C为回归抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；

(3) 在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D.连接CO并延长，交该抛物线于点E.点F是射线CD上一点，如果 $\text{[math]}$ ，求点F的坐标.

综合题普通