如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，边．

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1. 如图，平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ ．

(1) 求C点的坐标；

(2) 把矩形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 对折使点C落在点A处，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的交点分别为D、F、E，求折痕 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 在（2）的条件下，若点M在x轴上，平面内是否存在点N，使四边形 $\text{[math]}$ 是菱形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

坐标与图形性质; 勾股定理; 菱形的性质; 矩形的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是原点，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴上，已知 $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 沿线段 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 以每秒2cm的速度运动至 $\text{[math]}$ ，同时动点 $\text{[math]}$ 沿线段 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当 t 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形？

(2) 如图2，将矩形 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ，

①求 $\text{[math]}$ 点坐标；

②求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

(3) 如图3，点P是对角线 $\text{[math]}$ 上一动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题普通

2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒1个单位长的速度沿射线 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

(1) 当 $\text{[math]}$ ______秒时，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边的平行四边形是菱形；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上的一点，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 长方形 $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系中的位置如图： $\text{[math]}$ ﹑ $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$

(1) 求a，b的值：

(2) 点E在边 $\text{[math]}$ 上运动，将长方形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠．

①：如图①，折叠后点D落在边 $\text{[math]}$ 上的点F处，求点E的坐标；

②：如图②，折叠后点D落在x轴下方的点F处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点M， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点N，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长

解答题普通