已知二次函数的图象经过点．

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1. 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该二次函数的表达式；

(2) 二次函数图象与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发在线段 $\text{[math]}$ 上以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，同时点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，在线段 $\text{[math]}$ 上以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；

(3) 在点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 运动的过程中，是否存在使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似的时刻，如果存在，求出运动时间 $\text{[math]}$ ，如果不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 相似三角形的判定与性质; 二次函数-面积问题;

【答案】

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解答题普通

1. 抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 且与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是第四象限内抛物线上的动点，直线 $\text{[math]}$ 轴，分别与 $\text{[math]}$ 轴和直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图 $\text{[math]}$ ．

(1) 填空： $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 运动过程中，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积的最大值；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，如图 $\text{[math]}$ ，直接写出使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似的点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题困难

2. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴下方抛物线上一点．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 点坐标；

(3) 如图2，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的右侧，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，请问 $\text{[math]}$ 的值是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

解答题困难

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，顶点为D，直线 $\text{[math]}$ 交y轴于点E．

(1) 求抛物线的解析式．

(2) 设点P为线段 $\text{[math]}$ 上一点（点P不与B，D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点Q，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难