如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．

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1. 如图，在坐标系中有一矩形 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 落于边 $\text{[math]}$ 上．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) 若 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的反比例函数 $\text{[math]}$ 图象经过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 另一交点记为点 $\text{[math]}$ ；

①求该反比例函数解析式；

②在 $\text{[math]}$ 上有一动点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 坐标为多少时， $\text{[math]}$ 的周长最小？

【考点】

反比例函数与一次函数的交点问题; 勾股定理; 矩形的性质; 轴对称的性质;

【答案】

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解答题普通

1. 数学实验：
对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图1，①将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．

提出问题：

（1）观察所得到的∠ABM，∠MBN和∠NBC，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．
变式拓展：

如图2，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕PQ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在PQ上的点A^'处，并使折痕经过点B，得到折痕BH、线段BA^'；

提出问题：

（2）已知AB=DC=PQ=10，AD=BC=16，求AH的长．

（3）若点G是线段PQ上一动点，当△ABG周长最小时，QG=________．

解答题困难

2. 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点 $\text{[math]}$ 两点．

(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；

(2) 连接 $\text{[math]}$ 并延长交双曲线于点C，点D为y轴上一动点，点E为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 最小时点D的坐标；

(3) 在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 如图，将一张长方形纸片 $\text{[math]}$ 沿着对角线 $\text{[math]}$ 向下折叠，顶点A落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 的垂直平分线分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点F，G，H，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

解答题困难