问题提出某数学兴趣小组在课外学习时，发现了这样一个结论：如图1，如果直线，那么夹在这两条平行线间的与的面积相等．该结论很容易推导：与都以边为底，根据“两条平行线间的平行线段相等”可知，它们的高相等，从而得到与的面积相等．兴趣小组在交流时，有成员提出，该结论反过来成立吗？

1. 问题提出

某数学兴趣小组在课外学习时，发现了这样一个结论：如图1，如果直线 $\text{[math]}$ ，那么夹在这两条平行线间的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等．该结论很容易推导： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都以 $\text{[math]}$ 边为底，根据“两条平行线间的平行线段相等”可知，它们的高 $\text{[math]}$ 相等，从而得到 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等．兴趣小组在交流时，有成员提出，该结论反过来成立吗？

(1) 结论证明

通过证明可以发现上述结论反过来也是成立的，即如果 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等，那么直线 $\text{[math]}$ ．请你结合图1完成该证明．

(2) 结论应用

如图2．在平面直角坐标系中，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，过点A作 $\text{[math]}$ 轴于点C ，过点B作 $\text{[math]}$ 轴于点D ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于点E ，求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 拓展延伸

如图3，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A ，与y轴交于点B ，点C在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，且 $\text{[math]}$ ，求点C的坐标．

【考点】

反比例函数与一次函数的交点问题; 平行线的判定与性质; 三角形的面积; 平行四边形的判定与性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 模具厂计划生产面积为4，周长为 $\text{[math]}$ 的矩形模具，对于 $\text{[math]}$ 的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

(1) 建立函数模型：

设矩形相邻两边的长分别为 $\text{[math]}$ ，由矩形的面积为4，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；由周长为 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．满足要求的 $\text{[math]}$ 应是两个函数图象在第象限内的交点的坐标．

(2) 画出函数图象：

函数 $\text{[math]}$ 的图像如图所示，而函数 $\text{[math]}$ 的图像可由直线 $\text{[math]}$ 平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 $\text{[math]}$ ．

(3) 平移直线 $\text{[math]}$ ，观察函数图象：

当直线平移到与函数 $\text{[math]}$ 的图像有唯一交点 $\text{[math]}$ 时，写出周长 $\text{[math]}$ 的值；

(4) 得出结论：

若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长 $\text{[math]}$ 的取值范围．（直接写出结论）

实践探究题普通

2. 综合与实践

如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m²的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？

(1) 【问题探究】

小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：

设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m² ，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝ $\text{[math]}$ 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．

如图2，反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的图象与直线l₁：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝m，BC＝m．

根据小颖的分析思路，完成上面的填空；

(2) 【类比探究】

若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；

(3) 【问题延伸】

当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的图象有唯一交点．

请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；

(4) 【拓展应用】

小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝ $\text{[math]}$ 图象在第一象限内交点的存在问题”．

若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．

实践探究题困难

3. 确定有效消毒的时间段

背景素材

预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足 $\text{[math]}$ 的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段．

x	…	0.5	1	1.5	2	2.5	3	…
y	…	2.5	3	3.5	4	3.2	2.67	…

问题解决

(1) 任务1

确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式．

(2) 任务2

初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围．

(3) 任务3

若实际生活中有效消毒时间段要求满足a≤x≤3a ，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段．

实践探究题普通