如图1，在矩形中，，点，分别是，边上的动点，，将沿直线对折，点对应点为点，连结．

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1. 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的动点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 对折，点 $\text{[math]}$ 对应点为点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图3，当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 若直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，是否存在某一位置，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的动点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 对折，点 $\text{[math]}$ 对应点为点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图3，当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 若直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，是否存在某一位置，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，请写出线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

解答题普通

3. 一块直角三角形木料板的一条直角边 $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ，现要把它加工成一个面积较大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图甲、乙，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计，结果可保留分数）

解答题普通