课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：

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1. 课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．

初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：

(1) 方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．

若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 厘米，该水槽的横截面面积为 $\text{[math]}$ 厘米 $\text{[math]}$ ，请你写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式(不必写出 $\text{[math]}$ 的取值范围)，并求出当 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ 的值最大，最大值又是多少？

方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．

若 $\text{[math]}$ ，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的 $\text{[math]}$ 的最大值比较大小．

(2) 假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？

【考点】

含30°角的直角三角形; 勾股定理; 等腰梯形的性质; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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实践探究题普通

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P从A点出发沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BC向C点以2cm/s的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：

(1) 经过多少时间， $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ，此时， $\text{[math]}$ 长为多少cm．

(2) 探究：是否存在某一时刻 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，如果存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；如果不存在，请说明理由．

实践探究题普通

2. 某校准备在校园里利用围墙（墙可用最大长度为 $\text{[math]}$ ）和 $\text{[math]}$ 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形开心农场．某数学兴趣小组设计了三种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

(1) 方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 $\text{[math]}$ 的矩形水池，且需保证总种植面积为 $\text{[math]}$ ，试确定 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问 $\text{[math]}$ 应设计为多长？此时最大面积为多少？

(3) 方案三：如图③，在图中所示三处位置各留 $\text{[math]}$ 宽的门，且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问 $\text{[math]}$ 应设计为多长？此时最大面积为多少？

实践探究题普通

3. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位： $\text{[math]}$ )．

(1) 直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；

(2) 矩形实验田的面积S能达到 $\text{[math]}$ 吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

(3) 当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？

实践探究题普通