综合与探究如图，正方形中，，为边上异于、的一动点，为边上一点，，为线段上的动点，于，于．

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1. 综合与探究

如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的一动点， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．

①求 $\text{[math]}$ 的长（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

②求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值；

(3) 当 $\text{[math]}$ 点固定时，试证明四边形 $\text{[math]}$ 面积随着 $\text{[math]}$ 的增大而增大．

【考点】

二次函数的最值; 矩形的判定与性质; 正方形的性质; 相似三角形的判定; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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综合题困难

1. 已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，分别以 $\text{[math]}$ 为边向形外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ．正方形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

①若正方形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②如图 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 为边向形外作等边三角形 $\text{[math]}$ 和等边三角形 $\text{[math]}$ ，记等边三角形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，等边三角形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．以 $\text{[math]}$ 为边向上作等边三角形 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内），连结 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，试探索 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的等量关系，并说明理由．

综合题普通

2. 由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品．某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元．经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y=－2x+1000．

(1) 该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式；

(2) 若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？

(3) 公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？

综合题普通

3. 先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：

(1) 函数y=3x²的最小值是多少？

(2) 函数y=﹣3x²的最大值是多少？

(3) 怎样判断函数y=ax²有最大值或最小值？与同伴交流．

综合题普通