如图1，在平行四边形ABCD中，ADBC，E是CD的中点，AE⊥AB，AE，BC的延长线交于点F，在线段BF上取点M，N（点M在B，N之间），使得BM=FN=MN．当点P从点M匀速运动到点N处时，点Q恰好从点F匀速运动到点A处．连接AP．设MP=x，AQ=y，已知y=－x+8．

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1. 如图1，在平行四边形ABCD中，AD $\text{[math]}$ BC，E是CD的中点，AE⊥AB，AE，BC的延长线交于点F，在线段BF上取点M，N（点M在B，N之间），使得BM=FN= $\text{[math]}$ MN．当点P从点M匀速运动到点N处时，点Q恰好从点F匀速运动到点A处．连接AP．设MP=x，AQ=y，已知y=－x+8．

(1) 求BF，AF的长．

(2) 当PQ⊥BC时（如图2），求 $\text{[math]}$ 的周长．

(3) ①当 $\text{[math]}$ APQ是以AP为腰的等腰三角形时，求x的值．

②将PQ绕点Q顺时针旋转90°得线段 $\text{[math]}$ Q，若点 $\text{[math]}$ 落在四边形ABCD的内部，请直接写出x的取值范围．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 一次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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解答题困难

1. 综合与探究：

如图1，经过原点O的抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的另一个交点为A，直线l与抛物线交于A，B两点，已知点B的横坐标为1，点M为抛物线上一动点．

(1) 求出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式．

(2) 如图2，若点M是直线l上方的抛物线上的一个动点，直线 $\text{[math]}$ 交直线l于点C，设点M的横坐标为m，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

(3) 如图3，连接 $\text{[math]}$ ，抛物线上是否存在一点M，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点横坐标为 $\text{[math]}$ ，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点A和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点（不与点A， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合）．设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求这条抛物线的函数解析式；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 在第三象限，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 轴上时，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是y轴，且经过 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 这两个点．直线 $\text{[math]}$ 与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点．

(1) 求该抛物线的函数表达式；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 在y轴上是否存在点P，使得当k取某值时， $\text{[math]}$ 是等边三角形．若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

解答题困难