在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图1所示，四边形的四个顶点分别为，，，．

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1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象如图1所示，四边形 $\text{[math]}$ 的四个顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 当四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 与反比例函数的图象有且只有 $\text{[math]}$ 个公共点时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图2，若反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象与四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两个黄金分割点，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 如图3，若反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象与四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 围成的封闭区域内部 $\text{[math]}$ 不含边界 $\text{[math]}$ 刚好有 $\text{[math]}$ 个整点 $\text{[math]}$ 横、纵坐标都为整数的点 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

反比例函数与一次函数的交点问题; 黄金分割; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，已知点A的横坐标为 $\text{[math]}$ ，点B的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点C，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求双曲线和直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点， $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 的面积的3倍，求点P的坐标．

(3) 若点E在x轴的负半轴上，是否存在以点E，C，D为顶点构成的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ 在直角坐标系内的位置如图所示， $\text{[math]}$ ，双曲线 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 的正切值为 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积与直线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(3) 在（2）的条件下，设直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，试求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题困难

3. 如图，已知在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图像经过点A、 $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图像也经过点A，且点A横坐标是2．

(1) 求一次函数的解析式．

(2) 点C是x轴正半轴上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 轴分别交反比例函数 $\text{[math]}$ 和一次函数 $\text{[math]}$ 的图像于点D、E，求点D、E的坐标．

(3) 在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，一次函数 $\text{[math]}$ 的图像上是否存在一点F使得 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难