如图（1），在等腰直角三角形纸片中，，，点D，E分别为边上的动点．

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1. 如图（1），在等腰直角三角形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D，E分别为边 $\text{[math]}$ 上的动点．

(1) 将纸片沿 $\text{[math]}$ 翻折，点B的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在边 $\text{[math]}$ 上，且点D，E分别是边 $\text{[math]}$ 的中点，线段 $\text{[math]}$ _________．

(2) 如图2，将纸片沿 $\text{[math]}$ 翻折，点B的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在边 $\text{[math]}$ 上，再将纸片沿 $\text{[math]}$ 翻折，点C的对应点为 $\text{[math]}$ ，如图（3）．当 $\text{[math]}$ 的重合部分（即阴影部分）为直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 矩形的判定与性质; 翻折变换（折叠问题）; 三角形的中位线定理;

【答案】

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解答题困难

1. 我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（ $\text{[math]}$ 尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即 $\text{[math]}$ 尺），秋千的踏板离地面的距离与人一样高，这个人的身高为五尺（ $\text{[math]}$ 尺），

(1) 图 $\text{[math]}$ 所示 $\text{[math]}$ ______尺

(2) 求这个秋千的绳索 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 已知：如图，AC，BD是平行四边形ABCD的对角线，且AC=BD，若AB=4，BD=8，

求：平行四边形ABCD的周长.

解答题普通

3. （1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值”；小强同学发现 $\text{[math]}$ 可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长， $\text{[math]}$ 可看作两直角边分别是 $\text{[math]}$ 和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段 $\text{[math]}$ 的长，进而求得 $\text{[math]}$ 的最小值是 _________

（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

（3）方法应用：已知a，b均为正数，且 $\text{[math]}$ 是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）．

解答题普通