若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在的“美好函数”．

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1. 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值记为 $\text{[math]}$ ，最小值记为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 是在 $\text{[math]}$ 的“美好函数”．

(1) 函数① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．其中函数___________是在 $\text{[math]}$ 上的“美好函数”；（填序号）

(2) 已知函数 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ．

①函数 $\text{[math]}$ 是在 $\text{[math]}$ 上的“美好函数”，求 $\text{[math]}$ 的值；

②当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 是在 $\text{[math]}$ 上的“美好函数”，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知函数 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 是在 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为整数）上的“美好函数”，且存在整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

一次函数的概念;

【答案】

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解答题普通

1. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，都是和谐点．

(1) 判断函数 $\text{[math]}$ 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

(2) 若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上有且只有一个和谐点 $\text{[math]}$ ，

①求a，c的值．

②当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，最大值为1，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. “厚德楼”、“博学楼”分别是我校两栋教学楼的名字，“厚德”出自《周易大传》：天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物，“博学”源自《论语·雍也》：君子博学于文，约之以礼，博学乃华夏古今治学之基础，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“厚德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“博学点”．把函数图象至少经过一个“厚德点”和一个“博学点”的函数称为“厚德博学函数”．

(1) 一次函数 $\text{[math]}$ 是一个“厚德博学函数”，分别求出该函数图象上的“厚德点”和“博学点”；

(2) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 图象可以由二次函数 $\text{[math]}$ 平移得到，二次函数 $\text{[math]}$ 的顶点就是一个“厚德点”，并且该函数图象还经过一个“博学点” $\text{[math]}$ ，求该二次函数的解析式；

(3) 已知二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）图象的顶点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 上存在无数个“厚德点”，当 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 已知函数y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1．若这个函数是一次函数，求m的值；

解答题普通