已知：如图，在中，，点为的重心．

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1. 已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 联结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 三角形的重心及应用; 三角形的中位线定理;

【答案】

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解答题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为斜边 $\text{[math]}$ 的中点，点E为边 $\text{[math]}$ 上的一个动点．联结 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ 的垂线与边 $\text{[math]}$ 交于点F，以 $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ ，点G在边 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的面积为y，求y关于x的函数解析式；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，且点G恰好落在 $\text{[math]}$ 的边上，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 【问题背景】已知D、E分别是 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边和 $\text{[math]}$ 边上的点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕着A逆时针方向旋转，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ___________；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ___________；

【迁移应用】在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D、E，M分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

①如图3，写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系 ___________；

②如图4，把 $\text{[math]}$ 绕着点A逆时针方向旋转，当D落在 $\text{[math]}$ 上时，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点N，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求MN的长．

【创新应用】如图5： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕着点A旋转，连接 $\text{[math]}$ ， F是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

3. 一块直角三角形木料板的一条直角边 $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ，现要把它加工成一个面积较大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图甲、乙，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计，结果可保留分数）

解答题普通