综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体：

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1. 综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体：

(1) 操作探究：观察下列几何体，并把下表补充完整：

名称	三棱锥	三棱柱	正方体	正八面体
图形
顶点数V	4	6	8
棱数E	6		12
面数F	4	5		8

(2) 总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是，这就是伟大的数学家欧拉（L ． Euler ， 1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式．

【考点】

立体图形的初步认识;

【答案】

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实践探究题普通

1. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察图中几种简单多面体模型，解答下列问题：

(1) 根据图中的多面体模型，填写表格中的空格：

多面体	顶点数（V）	面数（F）	棱数（E）
四面体	4	4	6
正方体	8	6
八面体		8	12
十二面体	20	12	30

(2) 根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是（用所给的字母表示）.

(3) 若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是.

(4) 有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有24个顶点，每个顶点处都有 3条棱，设该多面体的面数为x，求x的值.

实践探究题普通

2. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（ $\text{[math]}$ ）、面数（ $\text{[math]}$ ）、棱数（ $\text{[math]}$ ）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

(1) 【观察总结】五种简单多面体的顶点数（ $\text{[math]}$ ）、面数（ $\text{[math]}$ ）、棱数（ $\text{[math]}$ ）如下表：

多面体	顶点数（ $\text{[math]}$ ）	面数（ $\text{[math]}$ ）	棱数（ $\text{[math]}$ ）
三棱锥	4	4	6
长方体	8	6	12
五棱柱	10	7	15
八面体	6	8	12
十二面体	20	12	30

猜想顶点数（ $\text{[math]}$ ）、面数（ $\text{[math]}$ ）、棱数（ $\text{[math]}$ ）之间存在的关系式是（用所给的字母表达）；

(2) 【简单应用】①能否组成一个有 $\text{[math]}$ 条棱、 $\text{[math]}$ 个面、 $\text{[math]}$ 个顶点的多面体？请说明理由．

②一个正二十面体有 $\text{[math]}$ 条棱，则它的顶点数是 ▲ ．

(3) 【实践探究】学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品．

①一个多面体作品，只有 $\text{[math]}$ 个顶点，并且过每个顶点都有 $\text{[math]}$ 条棱，则这个多面体的面数是；

②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多个．

实践探究题普通

3. 欧拉（ $\text{[math]}$ ， 1707年1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数 $\text{[math]}$ 、棱数 $\text{[math]}$ 、面数 $\text{[math]}$ 之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.

(1) 观察下列多面体，并把下表补充完整：

名称	三棱锥	三棱柱	正方体	正八面体
图形
顶点数 $\text{[math]}$	4
棱数 $\text{[math]}$	6
面数 $\text{[math]}$	4

(2) 分析表中的数据，请写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的等量关系为：；一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是；

(3) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱.请问该多面体表面三角形与八边形的个数之和是多少？

实践探究题普通