【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．

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1. 【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．

(1) 【概念理解】：如图①，若 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；

(2) 【性质应用】：如果四边形 $\text{[math]}$ 是真等腰直角四边形，且 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 是这个四边形的真等腰直角线，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

(3) 【深度理解】：如图②，四边形 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 都是等腰直角四边形， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；

(4) 【拓展提高】：已知：四边形 $\text{[math]}$ 是等腰直角四边形，对角线 $\text{[math]}$ 是这个四边形的等腰直角线，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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解答题普通

1. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则可证得 $\text{[math]}$ ，此时线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 就是一对“友好”线段．

(1) 如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ ．

①图中线段 $\text{[math]}$ 的“友好”线段是；

②连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图3， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在直线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的右侧作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，①点D在 $\text{[math]}$ 边上，线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 的数量关系是____________，位置关系是____________；

②直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系____________．

(2) 如图2，点D在B右侧．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求线段 $\text{[math]}$ 的长（写出必要的说明过程及计算步骤）．

(3) 拓展延伸如图3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长为____________．

解答题普通

3. （1）如图1所示，已知线段 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为______．

（2）如图2所示， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长．

（3）如图3所示， $\text{[math]}$ 为等腰三角形， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在其上方作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题普通