在矩形中，点E在边上，，将绕点B顺时针旋转得到，使点A的对应点F在线段上．

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1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，使点A的对应点F在线段 $\text{[math]}$ 上．

(1) 请在图中作出 $\text{[math]}$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2) $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点Q，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，请探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

【考点】

三角形全等及其性质; 等边三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形; 矩形的性质; 旋转的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，点A′在Rt△ABC的边AB上，∠ABC=30°，AC=2，∠ACB=90°，△ACB绕顶点C按逆时针方向旋转与△A′CB′重合，A'B'与BC交于点D，连接BB′，求线段BB′的长度．

解答题普通

2. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

【问题提出】

(1) 如图②，在图①的基础上连接BD，由于 $\text{[math]}$ ，所以可将 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针方向旋转60°，得到 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的形状是_______；

【尝试解决】

(2) 在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；

【类比应用】

(3) 如图③，等边 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ 是顶角 $\text{[math]}$ 的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求 $\text{[math]}$ 的周长．

解答题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，点 C的对应点E恰好落在 $\text{[math]}$ 边的延长线上，求 $\text{[math]}$ 的大小．

解答题普通