在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”．如图1，在等腰中，，且，则点为等腰的“双合点”．

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1. 在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”．如图1，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 为等腰 $\text{[math]}$ 的“双合点”．

(1) 如图2，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，请用无刻度的直尺和圆规作出该等腰三角形的一个“双合点” $\text{[math]}$ （保留作图痕迹）；

(2) 在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，

①如图3，当“双合点” $\text{[math]}$ 恰好在边 $\text{[math]}$ 上时，且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 度数；②当“双合点” $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 的延长线上时，则 $\text{[math]}$ ___________；

(3) 如图4，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求证：点 $\text{[math]}$ 为等腰 $\text{[math]}$ 的“双合点”．

【考点】

三角形内角和定理; 等腰三角形的判定与性质; 正方形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS; 全等三角形中对应边的关系;

【答案】

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作图题困难

1. （1）操作实践： $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，请画出一条直线把 $\text{[math]}$ 分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数； $\text{[math]}$ 要求用两种不同的分割方法 $\text{[math]}$

（2）分类探究： $\text{[math]}$ 中，最小内角 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出 $\text{[math]}$ 最大内角的所有可能值； $\text{[math]}$ 以下为备用图 $\text{[math]}$