如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，为坐标原点，连接．

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1. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上， $\text{[math]}$ 为坐标原点，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图1，在 $\text{[math]}$ 轴上有一点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，菱形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 如图2， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点，连接 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 个单位 $\text{[math]}$ 秒的速度沿 $\text{[math]}$ 方向运动， $\text{[math]}$ 秒后，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 个单位 $\text{[math]}$ 秒的速度沿折线 $\text{[math]}$ 方向运动，设点 $\text{[math]}$ 运动时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ，是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，直接写出相应的 $\text{[math]}$ 值；若不存在，请说明理由．

【考点】

坐标与图形性质; 勾股定理; 菱形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．以 $\text{[math]}$ 所在直线为x轴， $\text{[math]}$ 所在直线为y轴，点D为坐标原点O，建立平面直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段 $\text{[math]}$ 运动，点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段 $\text{[math]}$ 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒．

(1) 当t为何值时，以点B、P、Q为顶点的三角形的面积为2？

(2) 是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

解答题普通

2. 已知：如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是直角三角形， $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 在 $\text{[math]}$ 轴上找一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ （不包括全等），并求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 在（2）的条件下，如 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 和边 $\text{[math]}$ 上的动点，连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，问是否存在这样的 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似？如存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值；如不存在，请说明理由．

解答题普通

3. 如图，在直角坐标系中，A点坐标为 $\text{[math]}$ ， B点坐标为 $\text{[math]}$ ，动点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿 $\text{[math]}$ 向点A移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 向点O移动，设P、Q移动t秒（ $\text{[math]}$ ）．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 在P、Q两点移动的过程中，当t为何值时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似？

(3) 若四边形 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积之比为 $\text{[math]}$ ，求t的值．

解答题普通