如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点作交折线于点，连结．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，当点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合时，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交折线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 当点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点时，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 当 $\text{[math]}$ 的某条直角边所在的直线平分 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

(4) 当 $\text{[math]}$ 时，直接写出点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离．

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 在折线 $\text{[math]}$ 上运动．当点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合时，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰三角形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，且底边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部．

(1) $\text{[math]}$ 的长为_____；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 连结 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 分成面积相等的两部分时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(4) 设点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 的直角边时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点D从点A出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度沿边 $\text{[math]}$ 向终点B运动，同时点E从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿边 $\text{[math]}$ 向终点A运动．连结 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点E顺时针旋转90°得到线段 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ．设点E运动的时间为t秒 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 的长为______；

(2) 点D到边 $\text{[math]}$ 的距离为______；（用含t的代数式表示）

(3) 当点F落在边 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(4) 连结 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的边平行或垂直时，直接写出t的值．

解答题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，点B，C分别为x轴正半轴和y轴上的动点，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，作射线 $\text{[math]}$ 交x轴于点D，已知 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 当点C在y轴正半轴上，且 $\text{[math]}$ 时，求点C的坐标．

(3) 是否存在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似的情况？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题普通