如图1，在中，直径是上的动点，过点作交于点．连结，取的中点，连结交于点，延长交于点．

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1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中，直径 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．连结 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图2，连结 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图3，当点 $\text{[math]}$ 与圆心 $\text{[math]}$ 重合时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

(3) 在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 垂径定理; 解直角三角形—边角关系; 圆与三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在半径为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 中，弦 $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ ．求：

(1) $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 点O到 $\text{[math]}$ 的距离．

综合题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，正方形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，

(1) 求证： $\text{[math]}$

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通

（问题原型）

有这样一道问题：如图①：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上的中线，且 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 为等边三角形．小聪同学的解决办法是：延长 $\text{[math]}$ 至点E ，使 $\text{[math]}$ ，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题．

(1) （解决问题）请你利用小聪的办法解决此问题．

(2) （应用拓展）如图③，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

综合题普通