综合与实践动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．如图1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A'B ，连接A'C ，过点A'作A'D⊥CB交CB延长线于点D ．

1. 综合与实践

动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．

如图1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A^'B ，连接A^'C ，过点A^'作A^'D⊥CB交CB延长线于点D ．

(1) 思考探索：

在图1中：

①CD＝；

②△A^'BC的面积为；

(2) 拓展延伸：如图2，若△ACB为任意直角三角形，∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A^'B ，连接A^'C ，过点A^'作A^'D⊥CB交CB延长线于点D ．猜想三条线段AC、CD、A^'D的数量关系，并证明．

(3) 如图3，在△ACB中，AB＝AC＝5，BC＝6，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A^'B ，连接A^'C ．

①△A^'BC的面积为．

②若点D是△ACB的边BC的高线上的一动点，连接A^'D、DB ，则A^'D+DB的最小值是．

【考点】

三角形的面积; 三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 线段垂直平分线的性质; 旋转的性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 如图

(1) 【问题提出】

如图（1），在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别是BC，CD上的点，且 $\text{[math]}$ ，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接AG．先证明 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ，可得出结论，他的结论应是；

(2) 【问题探究】

如图（2），若在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ 分别是BC，CD上的点，且 $\text{[math]}$ ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

(3) 【问题解决】

如图（3），在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 $\text{[math]}$ 处）北偏西 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里／小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 $\text{[math]}$ 的方向以90海里／小时的速度前进2小时后，指挥中心观测到甲，乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为 $\text{[math]}$ ，试求此时两舰艇之间的距离．

实践探究题普通

2. 【感知】如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，易知：△ADC≌△BEA．

【探究】如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD=BE，△ADC与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．

【拓展】如图③，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD=BE，若AF= $\text{[math]}$ CF=2BE，S_△ABF=6，求S_△BCD的大小．

实践探究题普通

3. 学习了图形的旋转之后，小明知道，将点 $\text{[math]}$ 绕着某定点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转一定的角度 $\text{[math]}$ ，能得到一个新的点 $\text{[math]}$ ．经过进一步探究，小明发现，当上述点 $\text{[math]}$ 在某函数图象上运动时，点 $\text{[math]}$ 也随之运动，并且点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹能形成一个新的图形．

试根据下列各题中所给的定点 $\text{[math]}$ 的坐标和角度 $\text{[math]}$ 的大小来解决相关问题．

【初步感知】

如图1，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是一次函数 $\text{[math]}$ 图像上的动点，已知该一次函数的图象经过点 $\text{[math]}$ ．

（1）点 $\text{[math]}$ 旋转后，得到的点 $\text{[math]}$ 的坐标为________；

（2）若点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹经过点 $\text{[math]}$ ，求原一次函数的表达式．

【深入感悟】

（3）如图2，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 反比例函数 $\text{[math]}$ 的图像上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作二、四象限角平分线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

【灵活运用】

（4）如图3，设A $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是二次函数 $\text{[math]}$ 图像上的动点，已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．

实践探究题困难