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1. 如图1，矩形OABC的顶点O是直角坐标系的原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF ， D、E、F分别与B、C、O对应，EF的延长线恰好经过点C ， AF与BC相交于点Q ．

(1) 证明：△ACQ是等腰三角形；
(2) 求点D的坐标；
(3) 如图2，动点M从点A出发在折线AFC上运动（不与A、C重合），经过的路程为x ， 过点M作AO的垂线交AC于点N ， 记线段MN在运动过程中扫过的面积为S；求S关于x的函数关系式．
【考点】
等腰三角形的判定; 矩形的性质; 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 分类讨论;
【答案】

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综合题 困难
能力提升
换一批
1. 如图，已知线段AB＝6cm，过点B做射线BF且满足∠ABF＝40°，点C为线段AB中点，点P为射线BF上的动点，连接PA，过点B作PA的平行线交射线PC于点D，设PB的长度为xcm，PD的长度为y1cm，BD的长度为y2cm．（当点P与点B重合时，y1与y2的值均为6cm）

小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1 ， y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

(1) 按照下表中自变量x （0≤x≤6）的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1 ， y2与x的几组对应值：

x/cm

0

1

2

3

4

5

6

y1/cm

6.0

4.7

3.9

4.1

5.1

6.6

8.4

y2/cm

6.0

5.3

4.7

4.2

3.9

4.1

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
(2) 在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出y1 ， y2的图象；

(3) 结合函数图象解决问题：当△PDB为等腰三角形时，则BP的长度约为cm；
(4) 当x＞6时，是否存在x的值使得△PDB为等腰三角形（填“是”或者“否”）．
综合题 普通
2. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2 ，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．

(1) 填空：点B的坐标为；
(2) 是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
(3) ①求证： = ；

②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．
综合题 困难
3. 问题背景

在数学活动课上，张老师要求同学们拿两张大小不同的矩形纸片进行旋转变换探究活动．如图1，在矩形纸片ABCD和矩形纸片EFGH中，AB=1，AD=2，且EF＞AD，FG＞AB，点E是AD的中点，矩形纸片EFGH以点E为旋转中心进行逆时针旋转，在旋转过程中会产生怎样的数量关系，提出恰当的数学问题并加以解决．

解决问题

下面是三个学习小组提出的数学问题，请你解决这些问题．

(1) “奋进”小组提出的问题是：如图1，当EF与AB相交于点M，EH与BC相交于点N时，求证：EM=EN．
(2) “雄鹰”小组提出的问题是：在（1）的条件下，当AM=CN时，AM与BM有怎样的数量关系，说明理由．
(3) “创新”小组提出的问题是；若矩形EFGH继续以点E为旋转中心进行逆时针旋转，当∠AEF=60°时，请你在图2中画出旋转后的示意图，并求出此时EF将边BC分成的两条线段的长度．
综合题 普通