如图1，，，．

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1. 如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ ；

②用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图2，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 的形状，并加以证明；

(3) 如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直角边， $\text{[math]}$ 为直角顶点作等腰 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （直接写出结果）．

【考点】

三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 等腰三角形的判定; 勾股定理;

【答案】

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综合题困难

1. 在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BP ， DQ ．

(1) ①依题意补全图1；

②猜想线段DQ与BP的关系是：；

(2) 连接DP ，若点P ， Q ， D恰好在同一条直线上，求证：DP²+DQ²＝2AB² ．

综合题普通

2. 综合与实践

问题情境：数学课上，同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究．

已知Rt△ABC≌Rt△DEF ， ∠ACB＝∠DFE＝90°，∠BAC＝∠EDF＝60°，AC＝DF＝3．

(1) 操作探究1：

小颖将Rt△ABC和Rt△DEF按如图1的方式在同一平面内放置，其中AC与DF重合，此时B ， C ， E三点恰好共线．点B ， E在点C异侧，求线段BE的长；

(2) 操作探究2：

小军在图1的基础上进行了如下操作：保持Rt△ABC不动，将Rt△DEF绕点A按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），射线FE和CB交于点G ．如图2，在旋转的过程中，小军提出如下问题：

从下面A、B两题中任选一题作答，我选择（）题．

A ． ①求证：CG＝FG；

②如图3，当α＝30°时，延长AF交BC于点H ，则线段FH的长为（）；

③请在图4中画出旋转角α为90°时的图形，并直接写出此时C ， F两点之间的距离．

B ． ①求证：BG＝EG；

②如图3，当α＝30°时，延长AF交BC于点H ，则线段GH的长为（）；

③在△DEF旋转的过程中，是否存在以A ， B ， G ， E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请在图4中画出旋转后的图形，并直接写出此时旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．

综合题困难

3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝6，D是AB边上任意一点，连接CD ，以CD为直角边向右作等腰直角△CDE ，其中∠DCE＝90°，CD＝CE ，连接BE ．

(1) 求证：AD＝BE；

(2) 当△CDE的周长最小时，求CD的值；

(3) 求证： $\text{[math]}$ ．

综合题困难