用数学猜想解决问题数学猜想是依据已知条件或已有结论，运用实验、观察、归纳、类比的方法，对研究的问题做出由特殊到一般的归纳推测．数学猜想是问题解决的常用方法，也是数学发展的重要思维形式．【探究活动】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：第4个等式：． ……

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1. 用数学猜想解决问题

数学猜想是依据已知条件或已有结论，运用实验、观察、归纳、类比的方法，对研究的问题做出由特殊到一般的归纳推测．数学猜想是问题解决的常用方法，也是数学发展的重要思维形式．

【探究活动】观察下列等式：

第1个等式： $\text{[math]}$ ；

第2个等式： $\text{[math]}$ ；

第3个等式： $\text{[math]}$

第4个等式： $\text{[math]}$ ．

……

(1) 按以上规律列出第5个等式：a5＝＝；

(2) 用含有n的代数式表示第n个等式：an＝=（n为正整数）；

(3) 猜想下列算式的结果（直接写结果）

$\text{[math]}$ .

(4) 【拓展应用】

仿照上面的探究过程求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

探索数与式的规律;

【答案】

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实践探究题普通

1. “字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：

第1个等式： $\text{[math]}$ ；第2个等式： $\text{[math]}$ ；

第3个等式： $\text{[math]}$ ；第4个等式： $\text{[math]}$ ；

(1) 请用此方法拆分 $\text{[math]}$ ．

(2) 请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．

实践探究题普通

2. 若一个两位数十位、个位上的数字分别为 $\text{[math]}$ ，我们可将这个两位数记为 $\text{[math]}$ ，易知 $\text{[math]}$ ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 $\text{[math]}$ ．

(1) 【基础训练】
解方程填空：

①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 【能力提升】
交换任意一个两位数 $\text{[math]}$ 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 一定能被整除， $\text{[math]}$ 一定能被整除， $\text{[math]}$ 一定能被整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

(3) 【探索发现】

北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用 $\text{[math]}$ ，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为；

②设任选的三位数为 $\text{[math]}$ （不妨设 $\text{[math]}$ ，试说明其均可产生该黑洞数．

实践探究题普通

3. 观察下列等式，第一个：2 $\text{[math]}$ ；第二个： $\text{[math]}$ ；第三个： $\text{[math]}$

(1) 尝试： $\text{[math]}$ .

(2) 猜想：请用含 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为整数）的代数式表示第 $\text{[math]}$ 个等式.、

(3) 验证：请你运用学过的知识证明你的猜想.

实践探究题普通