如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴的交点C（0，6）．

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1. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴的交点C（0，6）．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；

(3) 点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题; 二次函数-相似三角形的存在性问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴正半轴交于点C ，且 $\text{[math]}$ ．抛物线的顶点为D ，对称轴交x轴于点E．直线 $\text{[math]}$ 经过B ， C两点．

(1) 求抛物线及直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(2) 点F是抛物线对称轴上一点，当 $\text{[math]}$ 的值最小时，求出点F的坐标及 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线 $\text{[math]}$ 上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A和点B、与y轴交与点C ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 点Q为抛物线上第三象限内一点，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点P ，且 $\text{[math]}$ ，点P的横坐标为t ， $\text{[math]}$ 的面积为S ，求S与t的函数关系式；

(3) 在（2）的条件下，过点P作 $\text{[math]}$ 于点D ，过O作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于E ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 的周长，求点Q的坐标．

综合题困难

3. 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，且△ABD的面积为10．

(1) 求抛物线和直线AC的函数表达式；

(2) 若抛物线上的动点E在直线AC的下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3) 设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△BPQ为等边三角形时，求直线AP的函数表达式．

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