如图

1. 如图

(1) 【探究发现】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE ，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F ，连接BD^' ， D'E ．

①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF ．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．

证明：延长BE交DF于点G ．

②进一步探究发现，当点D^'与点F重合时，∠CDF＝ ▲ °．

(2) 【类比迁移】

如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE ，作点D关于BE的对称点D'，DD^'的延长线与BC的延长线交于点F ，连接BD'，CD'，D'E ．当CD'⊥DF ， AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；

(3) 【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝ $\text{[math]}$ ， AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF ，请直接写出此时OF的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 勾股定理; 三角形的中位线定理; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 发现，如图①所示，在正方形中ABCD ， E为AD边上的一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交边CD于G点．求证：△BFG≌△BCG ．

(2) 探究：如图②在矩形ABCD中，E为边上一点，且AD＝8，AB＝6，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交边BC于G点，延长BF交边CD于H点，且FH＝CH ，求AE的长．

(3) 拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，∠D＝60°，E为CD边上靠近C点的三等分点，将△ADE沿AE翻折到△AFE 处，直线EF交BC于点P ，求PC的长．

实践探究题困难

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

【特例探究】

(1) 如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

(2) 【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

(3) 【拓展证明】如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题普通

3. 如图

(1) 【问题提出】

如图（1），在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别是BC，CD上的点，且 $\text{[math]}$ ，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接AG．先证明 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ，可得出结论，他的结论应是；

(2) 【问题探究】

如图（2），若在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ 分别是BC，CD上的点，且 $\text{[math]}$ ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

(3) 【问题解决】

如图（3），在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 $\text{[math]}$ 处）北偏西 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里／小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 $\text{[math]}$ 的方向以90海里／小时的速度前进2小时后，指挥中心观测到甲，乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为 $\text{[math]}$ ，试求此时两舰艇之间的距离．

实践探究题普通