在等腰中，是直角三角形，，，连接CD，~BD，点是BD的中点，连接EF．

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1. 在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接CD，~BD，点 $\text{[math]}$ 是BD的中点，连接EF．

(1) 当 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边AE上时，如图（1）所示，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，顶点 $\text{[math]}$ 落在边AD上时，如图（2）所示，当 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边AE上时，如图（3）所示，猜想图（2），图（3）中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

【考点】

三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 等边三角形的判定与性质; 相似三角形的判定; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．

(1) 写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；

(2) 选择（1）中一对加以证明.

综合题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 内， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 外， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 判断 $\text{[math]}$ 的形状并加以证明．

(2) 连接DE，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求DE的长．

综合题普通

3. 综合运用．

(1) 如图（ $\text{[math]}$ ），已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图（ $\text{[math]}$ ），将（ $\text{[math]}$ ）中的条件改为：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点都在直线 $\text{[math]}$ 上，并且有 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为任意锐角或钝角．请问结论 $\text{[math]}$ 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(3) 拓展与应用：如图（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点所在直线 $\text{[math]}$ 上的两动点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点互不重合），点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 平分线上的一点，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由．

综合题普通