我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题：

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1. 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的两个根是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么由求根公式可推出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．请根据这一结论，解决下列问题：

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两根，则 $\text{[math]}$ ________， $\text{[math]}$ ________；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两根，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知两个不同的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

分式的化简求值; 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）;

【答案】

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实践探究题普通

(1) [回归教材]已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ 的两个实数解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这个结论课本上称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理” $\text{[math]}$ 请你证明这个定理．

(2) [夯实基础]若一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数解为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) [拓展应用]若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数解为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

实践探究题普通

2. 【引入命题】设 $\text{[math]}$ 是关于字母 $\text{[math]}$ 的一个整式，若 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则整式 $\text{[math]}$ 必有一个因式 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .其中 $\text{[math]}$ 仍然是关于字母 $\text{[math]}$ 的一个整式.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的一个根是；

(2) 【回归课本】设一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则方程可化为： $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
利用上式结论解题：已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，且 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 【探究引申】设一元三次方程 $\text{[math]}$ 有三个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则原方程可化为： $\text{[math]}$ ，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
利用上式结论解题：已知方程 $\text{[math]}$ 有三个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(4) 【拓展提高】利用以上规律探究：若方程 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

实践探究题困难

3. 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的两个根是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么由求根公式可推出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请根据这一结论，解决下列问题：

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两根，则 $\text{[math]}$ _____， $\text{[math]}$ ______；若2，3是方程 $\text{[math]}$ 的两根，则 $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______；

(2) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则正整数 $\text{[math]}$ 的最小值为______．

实践探究题普通