如图在四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线．于点E ，交于点F ，，连接，．

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1. 如图在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点O为对角线 $\text{[math]}$ 的中点，过点O的直线． $\text{[math]}$ 于点E ，交 $\text{[math]}$ 于点F ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 为菱形．

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

菱形的性质; 菱形的判定; 四边形的综合; 母子相似模型（公共边公共角）; 相似三角形的判定-AA; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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综合题普通

1. 下图是华师版八年级下册数学教材第112页的部分内容．

如图，已知菱形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 试求这个菱形的两条对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的长．（结合图①，写出求解过程，结果保留根号）

(2) 如图②，过图①中的点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为．

(3) 如图③，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．将其绕着点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转90°得到菱形 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则旋转前后两个菱形重叠部分图形的周长为．

综合题普通

2. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

(1) 如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；

(2) 如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；

(3) 如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

综合题普通

3. 【问题背景】

文化墙是展示一个企业的历史，包括特色的一种重要手段，有一定的宣传、造势作用．如图，是某企业一面外轮廓为抛物线型 $\text{[math]}$ 的文化墙，该文化墙的最高点C到地面的距离 $\text{[math]}$ ，文化墙在地面上左右两端的距离 $\text{[math]}$ ，现要在墙面上规划出菱形 $\text{[math]}$ 区域，用于展示企业的发展历史，墙面剩余部分用于企业文化宣传．

【模型建立】

现以墙边左端点O为原点，水平地面 $\text{[math]}$ 所在直线为x轴，过点O垂直于 $\text{[math]}$ 的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系．

【任务解答】

(1) 求此抛物线对应的函数表达式；

(2) 已知展示企业发展历史区域（即菱形 $\text{[math]}$ ）的涂料价格是30元/ $\text{[math]}$ ，则购买该区域的涂料需要花费多少钱？

综合题普通