如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；交于点E，于点F，于点G．设运动时间为，解答下列问题：

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1. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 相交于点O， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点P从点B出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ 于点G．设运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题：

(1) 是否存在某一时刻t，使点P在 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

(2) 设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求S与t的函数关系式和S的最大值；

(3) 如图②，点 $\text{[math]}$ 是点P关于 $\text{[math]}$ 的对称点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求t为何值时，点 $\text{[math]}$ ， C，D在同一条直线上？

【考点】

勾股定理; 菱形的性质; 相似三角形的判定与性质; 二次函数-面积问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 若AE＝13，AB＝12，求EC的长．

解答题普通

2. 如图，在△ABC中， $\text{[math]}$ ．动点P从点C出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿 $\text{[math]}$ 以相同的速度向终点C运动，当点P到点A时，点Q同时停止运动．连结 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作平行四边形 $\text{[math]}$ ．设点P的运动时间为t秒（ $\text{[math]}$ ）．

(1) 当点H落在边 $\text{[math]}$ 上时，求t的值．

(2) 当平行四边形 $\text{[math]}$ 是菱形时，求t的值．

(3) 沿过点Q 且垂直于 $\text{[math]}$ 的直线将平行四边形 $\text{[math]}$ 剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，直接写出所有符合上述条件的t值．

解答题普通

3. 如图1，在菱形ABCD中， $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ ，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BE向终点E运动，过点P作 $\text{[math]}$ ，交BA于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，设点P的运动时间为t秒．

(1) 求菱形对角线AC的长；

(2) 求线段AQ与时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

(3) 如图2，AC交QM于点F，交QN于点O，若O是线段QN的中点，求t的值．

解答题普通