问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．

0 返回出卷网首页

1. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的一点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 【猜想证明】试猜想 $\text{[math]}$ 与CE的数量关系，并加以证明；

(2) 【探究应用】如图2，点 D为等边 $\text{[math]}$ 内一点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若B、D、E三点共线，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；

(3) 【拓展提升】如图3，若 $\text{[math]}$ 是边长为4的等边三角形，点D是线段 $\text{[math]}$ 上的动点（不与B、C重合），将线段 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．点D 在运动过程中， $\text{[math]}$ 的周长最小值 $\text{[math]}$ _____（直接写出答案）．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS; 旋转全等模型; 猜想与证明;

【答案】

您现在未登录，无法查看试题答案与解析。登录

实践探究题困难

1. （一）猜测探究

在等边△ABC中，点D是直线AB上的一个动点，线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接DE，BE．

(1) 如图1，当点D在AB边上运动时，线段BD，BC和BE的关系是；

(2) 如图2，当点D运动到线段AB的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3) （二）拓展应用

如图3，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，连接AB，DE交于点F，连接CF，若CF＝5，BF＝2，DF＝3，求线段DE的长．

实践探究题困难

(1) 问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系.

（发现证明）小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论.

(2) （类比引申）如图(2)，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD.

(3) （探究应用）如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ $\text{[math]}$ ﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： $\text{[math]}$ =1.41， $\text{[math]}$ =1.73）

实践探究题普通

3. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

(1) 【特例探究】

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

(2) 【归纳证明】

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

(3) 【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难