定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长．已知，在菱形中，， E是的中点，连接，．

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1. 定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则折线 $\text{[math]}$ 叫做菱形 $\text{[math]}$ 的折中线，折线 $\text{[math]}$ 的长叫做折中线的长．

已知，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求折中线 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，请探究折中线 $\text{[math]}$ 的长与菱形的边长a之间满足的等量关系式，并说明理由；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，且折中线 $\text{[math]}$ 中的 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 的一条对角线相等，求折中线 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 菱形的性质; 相似三角形的判定; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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综合题困难

1. 如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

(1) 填空：∠ABC=，BC=；

(2) 判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．

综合题普通

2. 如图，将菱形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别延长至点E和点F，且使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

3. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1) 写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，；

(2) 如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接AD、DC，若∠DCB=30°，试证明；DC²+BC²=AC² ．（即四边形ABCD是勾股四边形）

综合题普通