如图所示，在半径为2的扇形中，，点是劣弧上的一个动点，，，垂足分别为、．

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1. 如图所示，在半径为2的扇形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是劣弧 $\text{[math]}$ 上的一个动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 在 $\text{[math]}$ 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 沿着劣弧 $\text{[math]}$ 从点A开始，逆时针运动到点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的外心 $\text{[math]}$ 所经过的路径的长度；

(3) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并写出它的定义域．

【考点】

勾股定理; 圆周角定理; 弧长的计算; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如果三角形的两个内角 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若 $\text{[math]}$ 是“准互余三角形”， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ________．

（2）如图（1）， $\text{[math]}$ 是半圆的直径， $\text{[math]}$ 是半圆上的点，D是 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E．

①若D是 $\text{[math]}$ 的中点，则图中共有_______个“准互余三角形”；

②当 $\text{[math]}$ 是“准互余三角形”时，求 $\text{[math]}$ 的长；

③如图（2）所示，若F是 $\text{[math]}$ 上的点（不与 $\text{[math]}$ 重合），G为射线 $\text{[math]}$ 上一点，且满足 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 是“准互余三角形”时，求 $\text{[math]}$ 的长．