抛物线经过A、、三点．点D为抛物线的顶点，连接、、、．

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1. 抛物线 $\text{[math]}$ 经过A、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点．点D为抛物线的顶点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 在y轴上是否存在一点E，使 $\text{[math]}$ 为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-特殊三角形存在性问题;

【答案】

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解答题普通

1. 新定义：我们把抛物线 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 称为“关联抛物线”，例如，抛物线 $\text{[math]}$ 的“关联抛物线”为 $\text{[math]}$ ，已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的“关联抛物线”为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与y轴交于点E．

(1) 若点E的坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 设 $\text{[math]}$ 的顶点为F，若 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底的等腰三角形，求点E的坐标；

(3) 过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，于点M，N．

①当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；

②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值与最小值的差为 $\text{[math]}$ ，求a的值．

解答题困难

2. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与直线y＝x+5的图像交于A，B两点，且两个交点分别在x轴和y轴上，

(1) 求二次函数的解析式；

(2) P（a，b）是抛物线上一点，

①当a＞2时，是否存在点P使得△PAB是直角三角形，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；

②当﹣5＜a＜0时，是否存在点P到直线AB有最大距离，若存在，直接写出P点的横坐标，若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴相交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．

(1) 求抛物线和直线AC的解析式；

(2) 在抛物线上是否存在点P，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，且AP为斜边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

(3) 设过E的直线与抛物线相交于点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂），求|x₁﹣x₂|的最小值．

解答题普通