1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”．

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1. 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”．

(1) 下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程：

①当 $\text{[math]}$ 的三个内角均小于 $\text{[math]}$ 时，

如图1，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ 为三角形，∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$

由几何公理：可得： $\text{[math]}$

∴当B，P， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上时， $\text{[math]}$ 取最小值，

如图2， $\text{[math]}$ 最小值为 $\text{[math]}$ ，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 $\text{[math]}$ °．

②当 $\text{[math]}$ 有一个内角大于或等于 $\text{[math]}$ 时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略．

(2) 如图3，在 $\text{[math]}$ 中，三个内角均小于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若P为 $\text{[math]}$ 的“费马点”，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元 $\text{[math]}$ ， 1万元 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 万元 $\text{[math]}$ ，则总的铺设成本最少是万元．

【考点】

勾股定理; 轴对称的应用-最短距离问题; 费马点模型;

【答案】

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综合题困难

1. 问题提出：在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．如何铺设使得管道长度较短？

方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 于点P）；图2是方案二的示意咨图，设该方案中管道长度为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （其中点 $\text{[math]}$ 与点A关于l对称， $\text{[math]}$ 与l交于点P）．