如图1，在菱形中，，．动点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动，到点时停止，连接，点与点关于直线对称，连接，．设运动时间为（秒）．

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1. 如图1，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 边以每秒1个单位长度的速度运动，到点 $\text{[math]}$ 时停止，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设运动时间为 $\text{[math]}$ （秒）．

(1) 菱形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 的长为；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 恰在 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的周长；(4)直接写出在整个运动过程中，线段 $\text{[math]}$ 扫过的面积．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 菱形的性质; 四边形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1) 写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，；

(2) 如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接AD、DC，若∠DCB=30°，试证明；DC²+BC²=AC² ．（即四边形ABCD是勾股四边形）

综合题普通

2. 设等边三角形的内切圆半径为 $\text{[math]}$ 外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，平面内任意一点 $\text{[math]}$ 到等边三角形中心的距离为 $\text{[math]}$ 若满足 $\text{[math]}$ 则称点 $\text{[math]}$ 叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，等边 $\text{[math]}$ 的三个顶点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ．

(1) ①等边 $\text{[math]}$ 中心的坐标为；

②已知点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中，是等边 $\text{[math]}$ 的中心关联点的是；

(2) 如图1，过点 $\text{[math]}$ 作直线交 $\text{[math]}$ 轴正半轴于 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ ．

①若线段 $\text{[math]}$ 上存在等边 $\text{[math]}$ 的中心关联点 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②将直线 $\text{[math]}$ 向下平移得到直线 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，直线 $\text{[math]}$ 上总存在等边 $\text{[math]}$ 的中心关联点；

(3) 如图2，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度向右移动，运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．是否存在某一时刻 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 上所有点都是等边 $\text{[math]}$ 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有正确的 $\text{[math]}$ 的值；如果不存在，请说明理由．

综合题困难

3. 如图，将菱形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别延长至点E和点F，且使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通