在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点．

1. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是弦 $\text{[math]}$ 上一点．

(1) 根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ，分别交劣弧 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

②以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，交劣弧 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点不重合），连接 $\text{[math]}$ ；

(2) 请连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，引理的结论为： $\text{[math]}$ ．请你证明此结论．

【考点】

圆心角、弧、弦的关系; 圆内接四边形的性质; 三角形全等的判定-AAS; 尺规作图-垂直平分线;

【答案】

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作图题普通

1. 1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：

如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分.（按如下步骤完成，保留作图痕迹）

①以点A为圆心，OA长为半径，自点A 起，在⊙O上按逆时针方向顺次截取 $\text{[math]}$

②分别以点A，D为圆心，AC.长为半径作弧，两弧相交于⊙O上方的点E.

③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点.即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分.

作图题普通

2. 如图在8×8的方格纸ABCD中，M，N分别是AD，AB的中点，请按要求画格点线段（端点在格点上），且所画的线段端点均不与点A，B，C，D重合．

(1) 在图1中画一条格点线段EF平分MN，使E，F在四边形ABCD的边上，且不与它的边平行．

(2) 在图2中画一条格点线段GH，使得MN平分GH，且G，H在四边形ABCD的边上．

作图题普通

3. 如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：

(1) 在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC；

(2) 作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．

作图题普通