我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形．

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1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，斜边长为 $\text{[math]}$ ）和一个小正方形拼成的一个大正方形．

(1) 请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积 $\text{[math]}$ ．

方法1： $\text{[math]}$ ________；

方法2： $\text{[math]}$ ________．

根据以上信息，可以得到等式：________；

(2) 将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求图2中阴影部分的面积 $\text{[math]}$ ．

(3) 如图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，直角顶点重合于点 $\text{[math]}$ ，较大锐角的顶点为 $\text{[math]}$ ，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且 $\text{[math]}$ ，求该风车状图案的总面积．

【考点】

勾股定理; 勾股定理的证明; “赵爽弦图”模型;

【答案】

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解答题普通

1. 阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务．

中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是如果直角三角形的两直角边的长分别为3和4，那么斜边的长为5．上述记载表明：在 $\text{[math]}$ 中，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么a，b，c，之间的数量关系是____．

对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：

证明：∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

且 $\text{[math]}$ ______，

∴______ $\text{[math]}$ ______．

整理，得 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

任务：

(1) 补全材料中的填空．

(2) 如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的高， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，求x的值．

解答题普通

(1) 请你根据图甲中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．

(2) 以图甲中的直角三角形为基础，可以构造出以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为底，以 $\text{[math]}$ 为高的直角梯形，如图乙所示，请你利用图乙验证勾股定理．

解答题普通

3. 如图是一张直角三角形 $\text{[math]}$ 纸片， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 在图1中，将直角边 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在斜边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 在图2中，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通