某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？

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1. 某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点 $\text{[math]}$ 是一只探照灯，距离地面高度 $\text{[math]}$ ，照射角度 $\text{[math]}$ ，在地平线 $\text{[math]}$ 上的照射范围是线段 $\text{[math]}$ ，此灯的光照区域 $\text{[math]}$ 的面积最小值是多少？

(1) 小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，构造 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 的最小值为4，又 $\text{[math]}$ ，故得 $\text{[math]}$ 的最小值为__________，通过计算可得 $\text{[math]}$ 的面积最小值为__________．

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：

解：作 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于H，设 $\text{[math]}$

(3) 请你写出原题中的结论：光照区域 $\text{[math]}$ 的面积最小值是__________________________．（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

(4) 如图3，探照灯A到地平线l距离 $\text{[math]}$ 米，到垂直于地面的墙壁n的距离 $\text{[math]}$ 米，探照灯的照射角度 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，光照区域为四边形 $\text{[math]}$ ，点M、N分别在射线 $\text{[math]}$ 上，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

圆周角定理; 三角形的外接圆与外心; 相似三角形的判定; 解直角三角形; 相似三角形的性质-对应面积;

【答案】

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